기초 통계 | 「세상에서 가장 쉬운 통계학 입문」 - 분산, 표준편차 맛보기

 

 

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분산과 표준편차

평균의 한계

평균값이라는 것은 데이터의 분포 중에서 하나의 수를 꺼낸 것에 불과하며, 데이터가 그 주변에 어느정도 퍼져 있는지, 또는 흩어져 있는지 알 수 없다. 예를 들어, A국가와 B국가의 국민 평균소득이 같다 하더라도, 두 나라 모두 국민 생활이 빈부격차 없이 똑같이 풍요롭다고 말할 수 없다. 

 

 

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분산 (Variance)

분산은 데이터가 퍼져 있는 상태를 평가할 수 있는 통계량을 의미한다. 

 

 

예시

▶ 7시 30분에 도착하는 버스가 5일 동안 도착한 시간 (평균값 = 31)

32

27

29

34

33

 

▶ 평균값 7시 31분과 비교하면 (도착시간의 편차)

+1

-4

-2

+3

+2

이 편차를 대표할 수 있는 값을 구하기 위해 산술평균을 구해본다고 해보자. 하지만 식을 편차들을 더한 후에 5로 나누면 0이 된다. 플러스 값과 마이너스 값이 서로 상쇄되기 때문인데, 이런 값은 우리가 말하는 통계량으로 적절치 않다. 

 

이때는 제로평균을 사용해 구하면 되는데, 제로평균은 평균을 구하고 싶은 수치들을 각각 제곱하고 모두 합하여 총 개수로 나눈 뒤에 루트를 하는 방법이다. 이렇게 구하면 마이너스 부호가 없어지기 때문에 값이 서로 상쇄되는 일이 없어진다. 

 

이 단계에서 나온 통계량은 분산으로, 데이터가 퍼져있는 상태를 평가할 수 있는 통계량이다. 다만 이 분산은 흩어짐을 나타내는 수치로는 너무 크다. 또한 계산 도중에 단위까지 제곱이 되어버렸기 때문에 그대로 사용하기에는 어려움이 있다. 이 두 가지 문제점은 분산에 루트를 씌어 제곱평균을 구함으로써 해결된다. 이 통계량을 표준편차라 한다. 

 

 

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표준편차

위의 예시를 정리해보면 다음과 같다.

 

① 버스는 평균적으로 기준 시간보다 1분 늦는 버스다.

② 하지만 버스는 언제나 1분 늦게 도착하는 것이 아니며, 도착시간은 제각각이라 할 수 있다.

③ 버스가 도착하는 시간의 불규칙성, 즉 시간표와 맞지 않아 확실하지 않은 상태를 측정하는 것이 표준편차다. 

 

다시 정리하자면, 표준편차 2.6은 "버스가 평균적으로는 시간표보다 1분 늦게 도착하지만, 실제 도착 시간은 정해진 시간보다 전후로 2.6분 정도 다를 수 있다"를 의미한다. 

 

평균값이 데이터의 분포를 대표하는 수치라면, 표준편차는 그 대표값을 기점으로 데이터가 어느정도까지 멀리 위치해 있는지를 나타내는 통계량이라 할 수 있다.